[이코테] 다이나믹 프로그래밍 - 1로 만들기, 개미 전사, 바닥 공사, 효율적인 화폐 구성(Java)

 

 

 

 

1로 만들기

 

 

 

 

문제

 

정수 X가 주어질 때 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.

1. X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눈다.
2. X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
3. X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
4. X에서 1을 뺀다.

정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 1을 만들려고 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하시오.

예를 들어 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최솟값이다.

1. 26 - 1 = 25
2. 25 / 5 = 5
3. 5 / 5 = 1

 

 

 

 

입력 조건

 

• 첫째 줄에 정수 X가 주어진다. (1<=X<=30,000)

 

 

 

 

출력 조건

 

• 첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

 

 

 

 

풀이 과정 & 분석

 

이번 문제는 규칙만 파악한다면 간단한 점화식 문제이다. Top-Down 형식으로도 풀 수 있으며 나는 Bottum-Up 방식으로 해결하였다. 규칙은 아래와 같다.

 

f(1) = 0
f(2) = min( f(2-1), f(2/2) ) + 1
f(3) = min( f(3-1), f(3/3) ) + 1
f(4) = min( f(4-1), f(4/2) ) + 1
.
.
.

 

이 규칙으로 도출되는 점화식은 아래와 같다.

 

f(x) = min( f(x-1), f(x/5), f(x/3), f(x/2) ) + 1 (단, x>=2)

 

 

 

 

Java 코드

 

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {

    public static int[] d;

    public static int f(int x) {
        d[1] = 0;

        for (int i = 2; i <= x; i++) {
            int min = 1 + d[i - 1];

            if (i % 5 == 0)
                min = Math.min(min, 1 + d[i / 5]);
            if (i % 3 == 0)
                min = Math.min(min, 1 + d[i / 3]);
            if (i % 2 == 0)
                min = Math.min(min, 1 + d[i / 2]);

            d[i] = min;
        }

        return d[x];
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {

        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

        int x = Integer.parseInt(br.readLine());
        
        d = new int[x + 1];
        
        bw.write(String.valueOf(f(x)));

        br.close();
        bw.close();
    }
}

 

 

 

 

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개미 전사

 

 

 

 

문제

 

개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있다. 각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다. 따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다. 예를 들어 식량창고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정하자.

 

[1, 3, 1, 5]

 

이때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다. 개미 전사는 식량창고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원한다. 개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

 

 

 

입력 조건

 

• 첫째 줄에 식량창고의 개수 N이 주어진다. (3<=N<=100)
• 둘째 줄에 공백으로 구분되어 각 식량창고에 저장된 식량의 개수 K가 주어진다. (0<=K<=1,000)

 

 

 

 

출력 조건

 

• 첫째 줄에 개미 전사가 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 출력하시오.

 

 

 

 

풀이 과정 & 분석

 

다이나믹 프로그래밍 유형 문제인 걸 아는 상태여서 스스로 풀 수 있었던 것 같다. 몰랐더라면 좀 헤맸을 듯..ㅋㅋ

이전 문제처럼 규칙을 찾아내어 점화식을 구하면 된다. 규칙은 아래와 같다.

 

f(0) = arr[0]
f(1) = max( arr[1], arr[1] )
f(2) = max( f(1), f(0) + arr[2] )
f(3) = max( f(2), f(1) + arr[3] )
.
.
.

 

이해가 안된다면 f(2)를 구하는 과정을 생각해보자. arr[2]를 선택하지 않여 f(1)을 터는 경우, arr[2]을 선택하여 f(0)을 선택하는 두 가지 경우가 있다. 두 경우의 최대값을 구하면 최적의 f(2)을 구할 수 있다.

 

이 규칙으로 도출되는 점화식은 아래와 같다.

 

f(x) = max( f(x-1), f(x-2) + arr[x] ) (단, x>=2)

 

 

 

 

Java 코드

 

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {

    public static int n;
    public static int[] d;
    public static int[] arr;

    public static int f() {

        d[0] = arr[0];
        d[1] = Math.max(d[0], arr[1]);

        for (int i = 2; i < n; i++)
            d[i] = Math.max(d[i - 1], d[i - 2] + arr[i]);

        return d[n-1];
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {

        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

        n = Integer.parseInt(br.readLine());

        arr = new int[n];
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        for (int i = 0; i < n; i++)
            arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());

        d = new int[n];

        bw.write(String.valueOf(f()));

        br.close();
        bw.close();
    }
}

 

 

 

 

 

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바닥 공사

 

 

 

 

문제

 

• 가로의 길이가 N, 세로의 길이가 2인 직사각형 형태의 얇은 바닥이 있다.
• 태일이는 이 얇은 바닥을 1 X 2의 덮개, 2 X 1의 덮개, 2 X 2의 덮개를 이용해 채우고자 한다.
• 이 때 바닥을 채우는 모든 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.
• 예를 들어, 2X3 크기의 바닥을 채우는 경우의 수는 5가지이다.

 

 

 

 

입력 조건

 

• 첫째 줄에 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000)

 

 

 

 

출력 조건

 

• 첫째 줄에 2 X N 크기의 바닥을 채우는 방법의 수를 796,796으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

 

 

 

풀이 과정 & 분석

 

이 문제도 마찬가지로 문제 유형을 아는 상태여서 수월하게 풀 수 있었던 것 같다.

이전 문제처럼 규칙을 찾아내어 점화식을 구하면 된다. 규칙은 아래와 같다.

 

바닥을 채우는 경우의 수를 생각해보면 크게 2가지가 있다.

 

 

ii) 경우에서 2*1 덮개가 2개 사용되는 경우는 i)에서 고려가 되기 때문에 당연히 제외한다.

 

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = f(2) + 2f(1)
f(4) = f(3) + 2f(2)
.
.
.

 

이 규칙으로 도출되는 점화식은 아래와 같다.

 

f(x) = f(x-1) + 2f(x-2) (단, x>=3)

 

혹시나 이해가 안되는 분들을 위해 부가 설명을 하자면, (i-1까지 채우는 경우의 수 f(x-1) * i번째 칸을 채우는 방법 1가지) + (i-2까지 채우는 경우의 수 f(x-2) * 맨 오른쪽 2칸을 채우는 방법 2가지)라고 이해하면 된다. 

 

 

Java 코드

 

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {

    public static int[] d;

    public static int f(int n) {

        if (n == 1)
            return 1;

        d[1] = 1;
        d[2] = 3;

        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            d[i] = (d[i - 1] + 2 * d[i - 2]) % 796796;
        }

        return d[n];
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {

        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

        int n = Integer.parseInt(br.readLine());

        d = new int[n + 1];

        bw.write(String.valueOf(f(n)));

        br.close();
        bw.close();
    }
}

 

 

 

 

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효율적인 화폐 구성

 

 

 

 

문제

 

N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다. 이때 각 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있으며, 사용한 화폐의 구성은 같지만 순서만 다른 것은 같은 경우로 구분한다. 예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수이다.

 

 

 

 

입력 조건

 

• 첫째 줄에 N,M이 주어진다(1<= N <= 100, 1<= M <= 10,000)
• 이후의 N개의 줄에는 각 화폐의 가치가 주어진다. 화폐의 가치는 10,000보다 작거나 같은 자연수이다.

 

 

 

 

출력 조건

 

• 첫째 줄에 경우의 수 X를 출력한다.(불가능할 때는 -1을 출력한다)

 

 

 

 

풀이 과정 & 분석

 

이 문제는 풀이 방법이 도저히 안나서 책을 참고하여 해결하였다. DP에 연약한 듯..ㅋㅋ. 보완하자. 아래 링크는 브론즈에서 다이아까지 DP 문제를 추천해주는 포스트이다. 틈틈히 풀어볼 예정! 나는 아직 백준에서 골드3 이상 문제는 풀어본 적이 없어서 당장은 모두 해결할 순 없겠지만 DP 유형에 익숙해질 수 있도록 충분히 풀어보자.

 

좋은 DP 문제들 추천

 

책의 알고리즘은 꽤 간단명료하다. 금액 i를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수를 ai, 화폐의 단위를 k라고 했을 때, 아래 점화식을 작성할 수 있다.

 

a(i-k)를 만드는 방법이 존재하는 경우, ai = min( ai, a(i-k) + 1 )
a(i-k)를 만드는 방법이 존재하지 않는 경우, ai = 10,001

 

이 점화식을 모든 화폐 단위에 대하여 차례대로 적용하면 된다. 3가지 종류의 화폐(2원, 3원, 5원)가 있고 최소한으로 이용해서 7원을 만들어야 한다고 가정하고 아래 과정을 따라가보자.

 

 

추가적으로, 내가 작성한 코드에서는 for문으로 배열을 초기화하였는데 이코테 코드에서는 Arrays.fill(count, 10001)을 사용해서 배열을 초기화하였다. 몰랐던 함수이므로 기억해두자.

 

 

 

 

 

Java 코드

 

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {

    public static int n;
    public static int m;

    public static int[] coin_type;

    public static int[] count;

    public static int f() {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = coin_type[i]; j <= m; j++)
                count[j] = Math.min(count[j], count[j - coin_type[i]] + 1);

        if (count[m] == 10001)
            return -1;

        return count[m];
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {

        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        n = Integer.parseInt(st.nextToken());
        m = Integer.parseInt(st.nextToken());

        coin_type = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            coin_type[i] = Integer.parseInt(br.readLine());

        count = new int[m + 1];
        count[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            count[i] = 10001;

        bw.write(String.valueOf(f()));

        br.close();
        bw.close();
    }
}